Séquence 5
La fonction logarithme népérien
Objectifs de la séquence
̈

Introduire une nouvelle fonction : la fonction logarithme népérien.

̈

Connaître les propriétés de cette fonction : sa dérivée, ses variations, sa courbe, sa relation fonctionnelle.

̈ Apprendre

à utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture ou pour résoudre des équations.

Sommaire
1. Pré-requis
2. Premières notions sur la fonction logarithme népérien
3. Courbes des fonctions exp et ln
4. Dérivée et tableau de variation de la fonction ln
5. Synthèse de la séquence
6. Exercices de synthèse

Séquence 5 – MA01

1

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1 Pré-requis
A
Exercice

La fonction exponentielle
Vrai / Faux
Pour chacune des propositions suivantes, dites si elle est vraie ou fausse. Dans le cas où elle est fausse, proposez une modification qui la rende vraie.
a) La fonction exponentielle est le prolongement continu de la suite géométrique de premier terme u 0 = 0 et de raison 1.
b) La fonction définie sur ]0 ; + ∞ [ par f ( x ) = e x est à valeurs dans »+ et transforme une somme en un produit.
c) L’équation exp( x ) = 0 admet une unique solution strictement positive.
d) La dérivée de la fonction exponentielle est strictement croissante sur  −∞ ; 0  .
e) La fonction exponentielle est dérivable donc continue.
f) La dérivée de la fonction f : x e x − 1 est e x donc f est une fonction strictement croissante ; par conséquent, il existe un seul nombre réel x 0 ≥ 0 tel que f ( x 0 ) = 0.
g) Pour tout x ∈] − ∞ ; 0[, e–x ex = 1.
3

3 +3
 3
h) On a  e 2  = e 2 .
 

i) La dérivée de x

e

x

1
2
e x

est x

.

j) Une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse 2 est y = e2 ( x − 1).
k) Le tableau de variations de la fonction exponentielle est : x exp ′( x ) exp(x )

−∞

1

+∞

+
0

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Solution

a) Faux. On peut corriger comme ceci : « La fonction exponentielle est le prolongement continu de