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Chapitre 4
1er SRI&DSI
I – Les primitives :
Dans tout ce chapitre I désigne un intervalle différent d'un singleton .
I - 1 Primitive d’une fonction :
Définition :
Soit f : I → ℝ ,une fonction .On dit qu'une fonction F : I → ℝ est une primitive de f sur l'intervalle I si F est dérivable sur I et si : ∀x ∈ I : F ′( x) = f ( x) .
Proposition 1:
Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soit G : I → ℝ ,une fonction.
Alors G est une primitive de f sur l'intervalle I si et seulement si il existe une constante λ ∈ ℝ telle que :
∀x ∈ I : G ( x) = F ( x) + λ .
Proposition 2:
Soit f : I → ℝ ,une fonction admettant une primitive F sur I .Soient a ∈ I et λ ∈ ℝ . il' y a une seule G primitive de f sur I telle que G (a ) = λ , elle est définie par :
∀x ∈ I : G ( x) = F ( x) − F (a ) + λ .
Proposition 3:
Soit f , g : I → ℝ ,deux fonctions admettant des primitives F et G sur I et (α , β ) ∈ ℝ 2 .
Alors la fonction α F + β G est une primitive de α f + β g sur l'intervalle I .
Théorème :
Soit f : I → ℝ ,une fonction continue sur I . Alors f admet des primitives sur I .
II – Intégrale d’une fonction continue sur un intervalle fermé :
II – 1 - Définition de l’intégrale :
Définition :
Soit f : [ a, b ] → ℝ , a ≤ b ,une fonction continue sur l’intervalle [ a, b] et F une primitive de f sur
[ a, b] . Le nombre réel b ∫a
F (b) − F (a ) est appelé l'intégrale de f sur le segment [ a, b] , il est noté :
f ( x)dx =F (b) − F (a ) = [ F ( x) ]a b Remarques :
1- Si G est une primitive de f sur l'intervalle [ a, b] , alors G (b) − G (a ) = F (b) − F (a ) , puisque :
G = F +α , α ∈ℝ .
donc
2-
b
∫a b ∫a
f ( x)dx est indépendant de la primitive de f choisie . b b
a
a
f ( x)dx = ∫ f ( y )dy = ∫ f (t )dt = ...
Propriétés :
Soient f , g : [ a, b ] → ℝ ,deux fonctions continues sur [ a, b] et F et G des primitives de f et g sur
[ a, b] ,soit α ∈ ℝ .
1-
a
∫a
Alors