autour de l'oscillateur harmonique On s'intéresse à quelques propriétés des oscillateurs à une dimension, c'est à dire dont l'évolution en fonction du temps peut être analysée par une fonction x(t). On appelle oscillateur harmonique tout système dont la fonction x(t) correspondante est solution de l'équation différentielle : 0 rad/s,est la pulsation propre de l'oscillateur le pendule élastique : On considère un solide (S) de masse m, de centre d'inertie G. Quand S est immobile dans le référentiel dulaboratoire, G est en O, origine de l'axe horizontal x'x. Le solide S a pour seul mouvement possible une translation restiligne le long de l'axe x'x.
S est soumis a une seule force, la tension T d'un ressort élastique de constante de raideur k, de masse négligeable. Il n'y a pas de frottement et le poids du solide est compensé par la réaction du support. La position de S est repérée par l'abscisse de G.
1. Montrer qu'on a réalisé là un oscillateur harmonique dont l'évolution au cours du temps est régie par l'équation : Expliciter la fonction x(t) si les conditions initiales du mouvement sont à t=0, x(0)=A, amplitude positive et v(0) =0.
2. On appelle espace des phases( dans ce cas précis, plan des phases) le plan de coordonnées {x, dx/dt}. Quel est pour l'oscillateur harmonique, la trajectoire du point P caractéristique de l'état du système dans l'espace des phases?
3. de quelle fonction énergie potentielle la tension T dérive-t-elle? Retrouver l'équation ci-dessus en utilisant la conservation de l'énergie mécanique.
________________________________________corrigé
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Le système étudié est le solide S. Le référentiel est le laboratoire, référentiel supposé galiléen.
On applique le théorème du centre d'inertie , la seule force exercée sur S étant la tension du ressort. avec 02= k/m fonction solution de cette équation différentielle : x(t) = A cos (0 t + ) à t=0 : A =Acos d'où cossoit = 0 x'(t) =