Corrigé DM dérivées Exercice 1 1. ( Voir exos faits en classe pour la rédaction) –1 x 2 11 f(x) 4 f’(x) 2. a) Pour résoudre f(x) = 1

T 06

0 3 0

1 2 –2

11 11 , on trace la droite d’équation y = 4 4

1 1 Les solutions sont les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbe C d’où S = { – ; }. 2 2 11 b) Les solutions de l’inéquation f(x) ≤ sont les abscisses de tous les points de la courbe C d’ordonnée inférieure 4 1 1 11 . D’où S = [ – 1 ; – ] ∪ [ ; 4]. à 2 2 4 3. La fonction f est strictement positive sur [ – 1 ; 4] puisque sa représentation graphique est située au-dessus de l’axe des abscisses. Si la dérivée d’une fonction est strictement positive sur un intervalle alors cette fonction est strictement croissante sur cet intervalle donc la fonction F définie sur l'intervalle [ – 1 ; 4] et admettant f comme fonction dérivée est strictement croissante sur [ – 1 ; 4]. 4.a) La fonction g est définie par g(x) =

1 . La fonction g est définie ssi f ( x ) ≠ 0 f ( x)

Or la courbe de f est au dessus de l’axe des abscisses sur [ – 1 ; 4] , donc f ( x ) > 0 . Comme f ( x ) ≠ 0 sur [ – 1 ; 4], alors g est définie sur cet intervalle. 1 1 1 1 1 1 4 b. g(0) = = ; g(1) = = ; g( ) = = . f(0) 3 f(1) 2 2 1 11 f( ) 2 c. D’après sa représentation graphique, f est une fonction croissante sur [ -1 ; 0] puis décroissante sur [0 ; 4]. 1 Le sens des variations de est le sens inverse de celui de f donc g est décroissante sur [ -1 ; 0] puis croissante sur [0 ; f 1 f’(0) f’(1) 1 1 f’ 4. La dérivée de la fonction est ⎛ ⎞’ = – 2 donc g’(0) = – 2 = 0 et g’(1). = – 2 = f f (0) f (1) 2 f ⎝f⎠

Exercice 2 Remarque : une lecture graphique est toujours approximative, donc les valeurs données seront approximatives 1.a) Par lecture graphique le cout total de production de 10 objets est de 60€ b) On trace la droite d’équation y =150. la courbe C est située en dessous de la droite d’équation y =150 sur l’intervalle [ 0 ; 18.5] Donc, on peut produire au maximum 18