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❍❛r✐♥❣t♦♥✱ ▼❛r✐❡✲❋r❛♥ç♦✐s❡ ▲❛❧❧❡♠❛♥❞✱ ❆♥t♦✐♥❡ ▲▲✉❡❧ ❡t ❏❡❛♥✲P❛✉❧ ▲♦❣é✳
▲❛ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ▲✉❞♦✈✐❝ ❞✬❊st❛♠♣❡s ❛ été très ✐♠♣♦rt❛♥t❡ ❀ ❥❡ ❧✬❡♥ r❡♠❡r❝✐❡ ♣r♦❢♦♥❞é♠❡♥t✳
❆♥❞ré ❆♥t✐❜✐✱
❈♦♦r❞♦♥♥❛t❡✉r ❞❡ ❧✬♦r❛❧ ❞❡ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡s
❛✉ ❝♦♥❝♦✉rs ❝♦♠♠✉♥ ♣♦❧②t❡❝❤♥✐q✉❡s✱ ✜❧✐èr❡ ▼P

✶

❆❧❣è❜r❡ ❡t ❣é♦♠étr✐❡

✷

❊①❡r❝✐❝❡ ✶

❙♦✐❡♥t θ ∈ R ❡t n ∈ N∗ ✳ ❉é❝♦♠♣♦s❡③ ❡♥ ♣r♦❞✉✐t ❞❡ ♣♦❧②♥ô♠❡s ✐rré❞✉❝t✐❜❧❡s ❞❛♥s C[X]✱ ♣✉✐s
❞❛♥s R[X] ❧❡ ♣♦❧②♥ô♠❡ ✿
P = X 2n − 2X n cos (nθ) + 1 .

❊①❡r❝✐❝❡ ✷

❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❧❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s P = 3X 4 − 9X 3 + 7X 2 − 3X + 2 ❡t Q = X 4 − 3X 3 + 3X 2 − 3X + 2✳
❉é❝♦♠♣♦s❡③ P ❡t Q ❡♥ ❢❛❝t❡✉rs ♣r❡♠✐❡rs s✉r R[X]✱ ♣✉✐s s✉r C[X] ✭♦♥ ♣♦✉rr❛ ❝❛❧❝✉❧❡r ❧❡s
✈❛❧❡✉rs ❞❡ P ❡t ❞❡ Q ❡♥ ✶ ❡t ❡♥ ✷✮✳
✷✳ ❉ét❡r♠✐♥❡③ ❧❡ ♣♣❝♠ ❡t ❧❡ ♣❣❝❞ ❞❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s P ❡t Q✳

✶✳

❊①❡r❝✐❝❡ ✸

❖♥ ❝♦♥s✐❞èr❡ ❧❡s ♣♦❧②♥ô♠❡s ❞❡ C[X] s✉✐✈❛♥ts ✿ P = 2X 4 − 3X 2 + 1 ❡t Q = X 3 + 3X 2 + 3X + 2✳
❉é❝♦♠♣♦s❡③ ❡♥ ❢❛❝t❡✉rs ♣r❡♠✐❡rs ❞❡ P ❞❛♥s C[X] ✭♦♥ ♣♦✉rr❛ ❝❛❧❝✉❧❡r ❧❡s