VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS

1. Distance entre deux nombres réels 1.1. Définition : On appelle distance ou écart entre 2 réels x et y, la distance sur la droite numérique entre les points d'abscisses x et y ; on la note d(x ; y). Exemples : Sur la droite réelle, on considère les points ci-dessous : A –4 On a alors : d(0 ; –4) = OA = 4 d(1 ; 3) = BC = 2 1.2. Cas particulier : La distance entre 0 et x est égale à : Autrement dit : d(–3 ; –4) = DA = 1 d(0 ; 3) = OC = 3 d(0 ; –3) = OD = 3 d(–3 ; 3) = DC = 6 D –3 –2 –1 O 0 B 1 2 C 3 4

ì x si x est positif í - x si x est negatif î d(0 ; x) = max(-x ; x)

De même, pour la distance entre deux réels x et y, on est amené à distinguer deux cas : La distance entre x et y est égale à :

ì y - x si y est plus grand que x í x - y si x est plus grand que y î

Conclusion : d(x ; y) est parmi les différences y – x et x – y celle qui est positive. Autrement dit : d(x ; y) = max(y - x ; x - y)

Remarque : la notion de distance est symétrique : d(x ; y) = d(y ; x).

2. Valeur absolue d'un nombre réel 2.1. Définition : On appelle valeur absolue d'un réel x la distance (ou l'écart) entre 0 et x. On la note |x|. On a donc : 2.2. Autres caractérisations : · |x| = max(-x ; x). ì 1 si x > 0 ï · |x| = x ´ sgn(x) où sgn est la fonction "signe" définie par sgn(x) = í 0 si x = 0 . ï- 1 si x < 0 î · |x| = x 2 . Exercice : écrire sans les valeurs absolues l'expression : |x - 2| + |2x + 1| (On pourra faire un tableau en distiguant les trois cas : x  Valeurs absolues Page 1

|x| = d(x ; 0).

1 1 ; - < x  2 et x > 2) 2 2
G. COSTANTINI http://bacamaths.net/

2.3. Propriétés de la valeur absolue Langue française P1 P2 P3 La valeur absolue d'une quantité A est un nombre positif Une quantité A dont la valeur absolue est nulle est nulle. Deux quantités dont les valeurs absolues sont égales sont soit égales soit opposées. P4 La valeur absolue d'un produit est égale au produit des valeurs absolues. P5 La valeur absolue d'un