Exercices - Développements limités : indications
Calculs de DLs
Exercice 1 - Somme et produit de DLs - L1/Math Sup - ?
Exercice 2 - Composition de DLs - L1/Math Sup - ?
Il faut composer les développements limités. Par exemple, pour ln(sin(x)/x), il suffit de faire le DL de ln(1 + u), puis de remplacer u par le développement limité de sin(x)/x. Pour
(cos x)sin x, utiliser l’exponentielle.
Exercice 3 - Inverse de DL - L1/Math Sup - ?
Le DL de l’inverse d’une fonction se gère comme la composée. On se ramène à une écriture de la forme 1
1+u, avec u qui tend vers 0, puisque ce sont ces DLS que l’on sait traiter.
Exercice 4 - DLs pas en 0 ! - L1/Math Sup - ?
Faire un changement de variables pour se ramener en 0.
Exercice 5 - Ordre le plus grand possible - L1/Math Sup - ??
Développer 1+ax2
1+bx2 de façon "abstraite" jusqu’à un ordre raisonnable, puis étudier les termes qui peuvent s’éliminer avec le développement limité du cosinus.
Exercice 6 - Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100).
Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ??
1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours.
2. f est impaire.
3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités.
Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral
Mines - ??
Posons g = f−1(x). Justifier que g admet un développement limité d’ordre 3. Puis, écrire g(x) = ax + bx2 + cx3 + o(x3). Calculer le développement limité de f  g en fonction de a, b, c.
En écrivant que f  g(x) = x et en utilisant l’unicité du développement limité, conclure.
Application des développements limités
Exercice 9 - Limites de fonctions - L1/Math Sup - ?
Il faut faire un développement limité jusqu’à un ordre assez grand pour que les problèmes s’éliminent !
1.
2. Ecrire xxx sous forme exponentielle.
3. Forme exponentielle !
4. Ecrire sous la forme d’une différence de ln.