Int´grales g´n´ralis´es. e e e e Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des int´grales : e
+∞ +∞

I1 =
0 +∞

t3 e−t dt I2 =
1 +∞ ln 2

1 √ dt I3 = 2+1 t t

+∞ 0 1/2

t ln t dt (t2 + 1)2 1 1 − 3t + 2t2 dt

I4 =
0

t3 ln t dt I5 = (t4 + 1)3

1 + et dt I6 = 2t − 2et + 1 e

ln
0

Exercice 2 Les int´grales g´n´ralis´es suivantes sont-elles convergentes ou divergentes ? e e e e
+∞ 2 +∞ +∞

ln tdt,
2 π 0

ln tdt,
0 +∞

e−4t dt,
0

e−t dt,
0 1

2

+∞

+∞

t3 e−t dt,
0 +∞

t5 √ dt, (t4 + 1) t

ln(sin t)dt,
0 2

(1 − cos(1/t))dt,

sin(1/t)dt,
0
2 π

ln(cos(1/t))dt

Exercice 3 ´ Etudier la convergence des int´grales : e
+∞

I1 =
2

dt t(ln t)2

+∞

I2 =
3

Arctan t dt I3 = t2 + 2t + 7

+∞ n 2

t + t2−n √ dt t3 + t

Exercice 4

+∞ 1 Soit a et b deux param`tres r´els. Discuter selon leurs valeurs de la convergence de e e dt. On ta (ln t)b 2 pourra : a) Lorque a = 1, trouver facilement la r´ponse en utilisant les r´sultats classiques cit´s en cours. e e e A 1 dt pour A r´el destin´ ` tendre vers +∞. e ea b) Lorque a = 1, calculer explicitement b 2 t(ln t)

Exercice 5 a) Soit α > 0. Montrer que cos t dt converge. tα+1 1 +∞ sin t dt converge (int´grer par parties). e En d´duire que e tα 1 +∞ sin2 t b) Montrer que dt diverge (lin´ariser sin2 t). e t 1 +∞ sin t dt diverge. En d´duire que e t 1 c) V´rifier que quand t → +∞, e sin t sin t sin2 t √ ∼ √ + t t t
+∞ +∞

mais que pourtant
1

sin t √ dt et t

+∞ 1

sin t sin2 t (√ + )dt ne sont pas de mˆme nature. e t t
1 0

Exercice 6 a) D´montrer la convergence de l’int´grale e e

x−1 b) Montrer que, pour tout x ∈]0, 1[, ≤ ln(x) ≤ x − 1. x

x−1 dx. ln(x)

c) Pour X ∈]0, 1[, d´montrer l’´galit´ : e e e
X 0 X

xdx = ln(x)

X2 0

dx ln(x)
1 0

d) En d´duire un encadrement de e
0

x−1 dx, et montrer que ln(x)

x−1 dx = ln(2). ln(x)

Exercice 7 Soit f et g deux fonctions continues et strictement positives