Calculs à l’intérieur d’une sous algèbre matricielle
(M 3 (ℝ), +,×,.) désigne la ℝ algèbre des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels. a  b c       Pour tout triplet (a, b, c ) de nombres réels, on note T (a, b, c) la matrice b a + c b  .       c   b a    
On considère l’ensemble F = {T (a, b, c ) | (a, b, c ) ∈ ℝ 3 } .

1 0 0 0 1 0  0 0 1                   0 1 0 , A = 1 0 1 et B = 0 1 0 .      On pose I =                  0 0 1 0 1 0 1 0 0                  
Partie I 1. 2.a 2.b 2.c 2.d 3. 3.a 3.b 3.c Montrer que F est un sous-espace vectoriel de M 3 (ℝ) . Préciser une base de F et sa dimension. Exprimer A2 , B 2 , AB et BA à l’aide de I , A et B . Soit (a, b, c) ∈ ℝ 3 , (a ′, b ′, c ′) ∈ ℝ 3 , M = T (a, b, c ) et M ′ = T (a ′, b ′, c ′) . Calculer le produit MM ′ . Montrer que F est une sous-algèbre de M 3 (ℝ) . Est-elle commutative ?

(F , +,×) est-il un corps ?
Cette question est consacrée à la recherche des éléments inversibles de l’algèbre F . On fixe (a, b, c) ∈ ℝ 3 et on pose M = T (a, b, c ) . Calculer le déterminant de la matrice M et factoriser le résultat. On reprend les notations de la question 2.b. Calculer, lorsque c’est possible, les réels a ′, b ′, c ′ à l’aide de a, b, c pour que MM ′ = I . Quels sont les éléments inversibles de F ? Partie II

Dans cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 3 et (e1, e 2 , e3 ) est une base orthonormée directe de E .

1.a

a 2 + b 2 + c 2 = 1     Montrer que T (a, b, c) est une matrice orthogonale ssi b 2 + 2ac = 0 .    b(a + c ) = 0   
En déduire toutes les matrices orthogonales appartenant à F . Préciser, parmi ces matrices celles dont le déterminant est positif. On note u l’endomorphisme de E de matrice B dans la base (e1, e 2 , e3 ) . Reconnaître u , et préciser ses caractéristiques géométriques.

1.b 2.

3.

 1 2 1   −    2 2  2       