LES NOMBRES
TRANSCENDANTS

Année scolaire 2010/2011
SommaireSommaire
Introduction4
I. Historique5
II. Quelques propriétés des nombres algébriques6
II.1. Définitions6
II.2. Propriétés7
II.3. Dénombrabilité des nombres algébriques7
III. Les nombres transcendants8
III.1. Définitions8
III.2. Construction d'un nombre transcendant9
III.2.a. Théorème de Liouville9
III.2.b. Les nombres de Liouville10
III.2.c. La constante de Liouville11
IV. Transcendance de e12
IV.1. Plan de la démonstration12
IV.1.a. Définition12
IV.1.b. Description de la méthode12
IV.2. Démonstration de la transcendance de e13
IV.2.a. Lemme n ° 1 : une intégration par parties13
IV.2.b. Démonstration de la transcendance de e par l'absurde15
IV.2.c. Première étape - lemme n° 2 : un lemme sur la dérivation.15
IV.2.d. Deuxième étape : l'égalité 17
IV.2.e. Troisième étape : minoration17
IV.2.f. Quatrième étape : majoration18
V. Transcendance de π21
V.1. Préliminaires21
V.1.a. Propriétés des nombres algébriques 21
V.1.b. Polynômes symétriques22
V.2. Démonstration de la transcendance de π24
V.2.a. Formule d'Euler24
V.2.b. Définition d'un polynôme à coefficients entiers24
V.2.c. Un multiple de p.26
V.3. Une égalité impossible29
V.3.a. Minoration du terme de gauche 29
V.3.b. Majoration du terme de droite 30
V.3.c. Conclusion31
V.4. Conséquence sur la quadrature du cercle31
VI. Théorèmes de Lindemann32
VI.1. Théorème de Hermite-Lindemann32
VI.2. Théorème de Lindemann-Weierstrass32
VI.2.a. Étape A33
VI.2.b. Étape B37
VI.2.c. Étape C38
VI.2.d. Étape D39
Conclusion41

IntroductionAlors que les nombres irrationnels sont connus dès l'Antiquité, la notion de nombres transcendants n'apparaît qu'au XVIIème siècle. Et ce n'est qu'en 1844 que Joseph Liouville prouve leur existence.

Les nombres transcendants seront l'objet de ce TIPE de mathématiques et plus particulièrement la démonstration de la transcendance de e et π.

Dans un premier temps, nous présenterons un