Pr´paration ` l’agr´gation - Universit´ Paris - Sud e a e e

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Un exemple de s´ries chronologiques : les processus autor´gressifs e e
Vincent Rivoirard R´sum´ e e Dans ce texte, nous ´tudions quelques propri´t´s des processus autor´gressifs dont les utilisations e ee e sont fr´quentes pour mod´liser une s´rie temporelle. Apr`s avoir introduit la notion de statione e e e narit´, nous nous int´ressons aux propri´t´s de la fonction de covariance d’un processus autor´gressif e e ee e ` travers les ´quations de Yule-Walker. Divers th´or`mes statistiques sont ensuite pr´sent´s foura e e e e e e e nissant des outils adapt´s pour l’estimation des diff´rents param`tres caract´risant un processus e e autor´gressif d’ordre p. Cette ´tude se poursuit par la pr´sentation de l’algorithme de Durbine e e e e Levinson qui permet le calcul de la r´gression d’un processus autor´gressif sur son pass´. Enfin, e nous donnons une caract´risation de l’ordre du processus a l’aide de la fonction d’autocorr´lation e ` e partielle.

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Introduction

L’objet de ce texte est d’´tudier la mod´lisation de processus al´atoires indic´s par le temps. De e e e e tels processus sont appel´s s´ries chronologiques. Donnons-en imm´diatement une illustration. e e e Le niveau du lac Huron a ´t´ rel´v´ chaque ann´e de 1875 a 1972. Les valeurs relev´es (exee e e e ` e prim´es en pieds) sont repr´sent´es sur la figure 1 (on a enlev´ 570 aux valeurs). Comme le niveau e e e e du lac semble diminuer un peu pr`s r´guli`rement, il est naturel de chercher ` ajuster les donn´es e e e a e ` un mod`le de la forme : Xt = a0 + a1 t + Yt pour t ∈ {1, . . . , 98}. La droite qui approche le a e mieux les donn´es au sens des moindres carr´s est la droite d’´quation d(t) = 10.202 − 0.0242t e e e (repr´sent´e sur la figure 1 en pointill´es). Les valeurs des r´sidus et = xt − d(t) sont repr´sent´es e e e e e e ` la figure 2. On n’observe pas d’autre tendance mais ces r´sidus ne ressemblent pas ` ceux d’un a e a mod`le