Bac S de maths 2008 - Réunion Corrigé de l’exercice de spécialité
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1. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonornal direct (O, u, v). Soient A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2 + i, zB = 5 + 2i et zC = i. s1 désigne la symétrie d’axe (AB). a. Démontrer que s1 transforme tout point M d’affixe z en un point M’ d’affixe z telle que z = 4 3 1 3 + i z+ − + i 5 5 5 5

La symétrie d’axe (AB) est une similitude indirecte dont l’écriture complexe est de la forme z = az + b. Elle laisse invariant la droite (AB), et en particulier les points A et B, ce qui permet d’obtenir le système d’équations : 2 + i = a2 + i + b zA = azA + b ⇐⇒ zB = azB + b 5 + 2i = a5 + 2i + b ⇐⇒ ⇐⇒ (2 − i)a + b = 2 + i (5 − 2i)a + b = 5 + 2i (2 − i)a + b = 2 + i

(3 − i)a = 3 + i (soustraction des 2 équations)   (2 − i)a + b = 2 + i  ⇐⇒ 3+i (3 + i)2 4 3 8 + 6i  = = + i = a = 3−i |3 − i|2 10 5 5  4 3 1 3   + i =− + i  b = 2 + i − (2 − i) 5 5 5 5 ⇐⇒    a = 4 + 3i 5 5 Donc l’écriture complexe de la symétrie d’axe (AB) est z = 4 3 1 3 + i z+ − + i 5 5 5 5 .

b. En déduire l’affixe de C , symétrique de C par rapport à (AB). L’affixe de C’ est telle que : zC’ = 4 3 1 3 + i zC + − + i 5 5 5 5 4 3 1 3 = −i + i − + i 5 5 5 5 2 1 − i 5 5

=

c. Démontrer que l’ensemble des points M tels que z est imaginaire pur est la droite (D) d’équation 4x + 3y = 1.

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Bac S de maths 2008 - Réunion Corrigé de l’exercice de spécialité
On prend M d’affixe z = x + iy et on calculer z en fonction de x et y : z = 4 3 1 3 + i (x − iy ) − + i 5 5 5 5 4 3 3 1 3 4 = x − y i + xi + y − + i 5 5 5 5 5 5 4 3 1 4 3 3 = x + y − +i x− y+ 5 5 5 5 5 5

z est imaginaire pur est équivalent à avoir la partie réelle de z nulle ce qui donne : 3 1 4x + 3y − 1 4 x + y − = 0 ⇐⇒ =0 5 5 5 5 ⇐⇒ 4x + 3y = 1 Donc l’ensemble des points M tels que z est imaginaire pur est la droite d’équation 4x + 3y =