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Exercices sur la division euclidienne

1 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5.
2 Déterminer deux entiers naturels x et y sachant que leur différence est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 10 et le reste 5.
3 Déterminer tous les entiers naturels n tels que, dans la division euclidienne par 7, ils donnent un quotient égal au reste.
4 Déterminer le reste de la division euclidienne de 7n + 15 par 3n + 2 avec n ∈ N*.
5 Dans la division euclidienne de 321 par l’entier naturel non nul b, le reste est 75.
Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.
6 Le quotient de la division euclidienne de 1 517 par l’entier naturel b est 75.
Déterminer la valeur de b et du reste.
7 Déterminer les entiers naturels non nuls dont la division euclidienne par 43 donne un reste égal au carré du quotient. 8 Démontrer que pour tout entier relatif n, n ( n + 2 )( n + 4 ) est divisible par 3.
9 1°) Démontrer que, si a et b sont des entiers naturels tels que a 2 + b 2 est impair, alors a et b sont de parité différente. 2°) Démontrer qu’un entier naturel impair qui s’écrit comme somme de deux carrés* est de la forme n = 4k + 1 , avec k entier.
3°) En déduire qu’un entier naturel de la forme 4k –1 ne peut pas être la somme de deux carrés.
*

Dans cet exercice, le mot « carré » est employé au sens de « carré parfait » c’est-à-dire carré d’un entier naturel. 10 On note q et r le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b avec (a ; b) ∈ Z × Z*.

Déterminer q sachant que q et r ne changent pas lorsqu’on augmente a de 52 et b de 4.

11 Ex. sur les codages

Corrigé
1 x = 53 et y = 6

Autre façon : x 5

x = 8 y + 5
On a donc 
 x + y = 59

Solution détaillée :
Déterminons deux entiers naturels x et y sachant que leur somme est égale à 59 et que dans la division euclidienne de x par y le quotient est 8 et le reste 5.
