Chapitre 2 : les identit´s remarquables e
I. Mise en ´vidence sur des exemples e
B = (3x + 4)2 D = (4x − 6)2 F = (5x + 4)(5x − 4)

Voici le type d’expressions (= de produits) auxquelles on va s’int´resser : e 1) A = (x + 5)2 2) C = (x − 3)2 3) E = (x + 3)(x − 3)

Observons d’abord que toutes ces expressions peuvent ˆtre interpr´t´es comme des expressions du type e ee (a + b)(c + d). C’est ´vident pour les expressions du 3). e Et pour celles du 1), il suffit de remarquer que (x+5)2 = (x+5)(x+5), que B = (3x+4)2 = (3x+4)(3x+4), etc... D´veloppons ces expressions avec la technique de 4 et observons ce qui se passe : e ˚ A = (x + 5)2 A = (x + 5)(x + 5) A= x×x+x×5+5×x+5×5 A = x2 + 5x + 5x + 25 A = x2 + 10x + 25 C C C C C E E E E = (x − 3)2 = (x − 3)(x − 3) = x×x−x×3−3×x+3×3 = x2 − 3x − 3x + 9 = x2 − 6x + 9 = (x + 3)(x − 3) = x×x−x×3+3×x−3×3 = x2 − 3x + 3x − 9 = x2 − 9 B B B B B D D D D D F F F F = (3x + 4)2 = (3x + 4)(3x + 4) = 3x × 3x + 3x × 4 + 4 × 3x + 4 × 4 = 9x2 + 12x + 12x + 16 = 9x2 + 24x + 16 = (4x − 6)2 = (4x − 6)(4x − 6) = 4x × 4x − 4x × 6 − 6 × 4x + 6 × 6 = 16x2 − 24x − 24x + 36 = 16x2 − 48x + 36 = (5x + 4)(5x − 4) = 5x × 5x − 5x × 4 + 4 × 5x − 4 × 4 = 25x2 − 20x + 20x − 16 = 25x2 − 16

Observons les termes en x dans le d´veloppement : e Ils sont ´gaux et s’ajoutent dans les expressions du 1) et du 2). e Ils sont oppos´s et s’annulent dans les expressions du 3). e On va pr´ciser cette observation et ´tablir des formules qui permettront (entre autres) de d´velopper e e e plus vite ce type d’expression.

II .

Formules

Reprenons les expressions du I. Les expressions du 1) sont du type g´n´ral (a + b)2 e e Les expressions du 2) sont du type g´n´ral (a − b)2 e e Les expressions du 3) sont du type g´n´ral (a + b)(a − b) e e En d´veloppant ces expressions sous leur forme g´n´rale, on va ´tablir des formules appel´es identit´s e e e e e e remarquables.

cours 3 - M. Debrabant - Chapitre 2, Page 1 / 2 ˚

Identit´s remarquables : e 2 = a2 + 2ab + b2