L3 AES
Ann´ee 2014-2015

Concurrence imparfaite et Economie industrielle

TD 2 : DUOPOLE - CORRIGE

Exercice I
Supposons que la demande pour un bien homog`ene soit p = 100 − Q et que les firmes 1 et 2 aient des coˆ uts unitaires constants c1 = 25, c2 = 25γ.
Q1. D´eriver l’´equilibre de Stackelberg (prix et quantit´es) en supposant que la firme 2 est le leader. Quelle est la part de march´e du leader lorsque γ = 1?
Q2. D´eriver l’´equilibre de Cournot et trouvez la valeur de γ qui donne `a la firme 2 la mˆeme part de march´e que lorsqu’elle peut exercer du leadership et que γ = 1.
R´
eponse
Q1.
π2S2 = 100 −

75−q2
2

− q2 − 25γ q2 =

125
2

−

q1
2

− 25γ q2

La maximisation de cette fonction conduit a` : q2S2 =

125
125 − 50γ
25
− 25γ =
= (5 − 2γ)
2
2
2

Donc : q1S2 =

75 1
−
2
2

125 − 50γ
2

=

25 + 50γ
25
= (1 + 2γ)
4
4

D’o` u: QS2 =

275 − 50γ
= 25
4

11 − 2γ
4

⇒ ρ2 =

Prix d’´equilibre : pS2 = 100 − QS2 =

25
(5 + 2γ)
4

1

q2S2
=2
Q

5 − 2γ
11 − 2γ

⇒ ρ2 (γ = 1) =

2
3

Remarque : profit total π S2 = 3

25
4

2

4γ 2 − 12γ + 17

Q2. En Cournot, les profits s’´ecrivent : π1 = (75 − q1 − q2 ) q1 et π2 = (100 − 25γ − q1 − q2 ) q2
Les CP O :
• cpo(1)
∂π1 /∂q1 = 0 ⇔ q1 =

75 − q2
2

• cpo(2)
∂π2 /∂q2 = 0 ⇔ q2 =

(100 − 25γ) − q1
2

On obtient alors les quantit´es d’´equilibre :
✞

q1c =

✝

25
(2
3

☎

+ γ)

✆

Et :
✞

q2c =

✝

100−q1 −25γ
2

=

125−50γ
3

=

25
(5
3

☎

− 2γ)

On en d´eduit :
Qc =

25
(7 − γ)
3

Donc :
C
C ρC 2 = q2 /Q =

5 − 2γ
7−γ

On cherche γ tel que : ρC
2 = 2/3. Soit :
5 − 2γ
2
1
= ⇔γ= <1
7−γ
3
4
2

✆

On en conclut que pour que l’un des deux joueurs puisse disposer de la mˆeme part de march´e en Cournot qu’un leader Stackelberg il suffit que le rapport des coˆ uts unitaires soit inf´erieur a` γ en sa faveur.
NB : prix d’´equilibre pC =

125 + 25γ
25
= (5 + γ)
3
3

Remarque : profit total

πC =

252
29 + 5γ 2 − 16γ
9

Comparaison des profits en Stackelberg et en Cournot π S2

π C ⇔ 28γ 2 − 68γ − 5

0

Racines : ∆ = 342 + 140 = 1296 =