Les nombres complexes dossier ressources complexes 1
I. Introduction : Du réel à l'imaginaire
Un peu d'histoire
Au XVIe siècle, l'italien CARDAN lève une interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes.
Deux siècles plus tard, le suisse EULER utilise la lettre "i" en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë " -1 ".
Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le sens où il ne peut pas être réel !
Depuis la théorie sur les nombres complexes n'a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité, l'électronique, …
Remarque : la lettre j est souvent préférée à i afin d'éviter, lors d'application en électricité, toute confusion avec l'intensité du courant.
II. Présentation des nombres complexes
1. Définition – forme algébrique
Il existe un ensemble noté Ê dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme : (a et b étant des nombres réels)

z = a + jb

avec

j 2 = −1

a est la partie réelle : Re( z ) = a . b est la partie imaginaire : Im( z ) = b .

z est un nombre complexe.
Si b =0 alors z = a ⇒ z est un réel.
Si a =0 alors z =j b ⇒ z est un imaginaire pur.
Si a = b =0 alors z =0.
Représentation graphique
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, le nombre complexe z = a + jb est uuuur  a  représenté par le point M, de coordonnées (a ; b), ou le vecteur OM   .
b
On dit que M est l'image de z ou que z est l'affixe de M. axe des nombres imaginaires y M (z)

b

nombres complexes

ρ θ 0

a

x

axe des nombres réels

Exemple 1: z1= 3+4j avec 3 la partie réelle et 4 la partie imaginaire z2=-6+j 2 avec 6 la partie réelle et 2 la partie imaginaire z3= 3j avec 0 la partie réelle et 3 la partie imaginaire z4= 7 avec 7 la partie réelle et 0 la partie imaginaire
• Les complexes de la forme jb avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires purs.
• Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même