Projet calcul num
1883 mots
8 pages
INTRODUCTIONCahier des charges:
On nous demande, à travers ce projet, de résoudre un système linéaire comportant plusieurs seconds membres, en utilisant la méthode de Householder.
La méthode de Householder est une méthode de résolution directe , c’est-à-dire qu’elle se termine en un nombre fini d’étapes.
Définitions :
( On appelle matrice élémentaire de Householder, une matrice H de la forme :
H=Im-2u u^t avec u un vecteur de norme 1.
( Une matrice de Householder se présente également sous la forme :
H(v)= I – (2 (vv*) / (v*v)) avec v= a +- ||a||2 e1
(Toute matrice élémentaire de Householder est symétrique et orthogonale.
( La méthode de Householder pour le résolution d’un système linéaire à un second membre ( Ax=b) équivaut à trouver (n-1) matrices de Householder H1,H2,….,Hn-1 telles que la matrice
Hn-1*Hn-2*….*H2*H1*A soit triangulaire supérieure.
Il reste ensuite à résoudre le nouveau système :
Hn-1*…H2*H1*A*x = Hn-1*….H2*H1*b
Chaque matrice Ak = Hk-1*….*H2*H1*A se présente sous la forme:
X X X X X X X X X X X X X X X
Ak= X X X (0) X X X
Ce système est plus simple à résoudre. En effet, on peut utiliser la méthode de la remontée (résoudre « en cascade »).
Plusieurs seconds membres (explications détaillées après le code Fortran) :
Un système linaire avec plusieurs seconds membres se présente sous la forme suivante (exemple avec 3seconds membres)
Ax1x2x3 = b1b2b3
La méthode de résolution de ce système est similaire à celle pour un système linéaire à un seul second membre.
Les étapes restent les mêmes, seuls les calculs sont plus longs.
On peut rassembler les valeurs des différents vecteurs xi dans une matrice X=(x1,x2,x3…,xn) et les vecteurs bi dans une matrice B=(b1,b2,b3,…,bn) .
Ce qui change vraiment, c’est que l’on applique la méthode de Householder à chaque colonne de la matrice B (second membre). On aura donc une boucle qui parcourra toutes les colonnes du