économétrie
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Exercice 1 :
𝟏𝟎
On considère les matrices 𝑨 =
𝟐
𝟒
𝟖
𝟒
𝟔
,𝑩 = 𝟑
𝟕
𝟓
𝟐
𝟗
𝟒
𝟏
𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔
𝟖
𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟓
𝟓
𝟒
𝟕
1) Calculer 𝑩. 𝑨 −𝟏 et déduire 𝑨′ . 𝑩′ −𝟏
2) Calculer 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 𝒆𝒕 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨
3) Calculer 𝑪−𝟏
4) Soit 𝑫 une matrice de dimension 𝒏, 𝒑 𝒆𝒕 𝑬 = 𝑫′ . 𝑫
Montrer que :
a) 𝑬 est symétrique
b)
𝒕𝒓 𝑬 =
𝒅𝒊𝒋
𝒊
𝒋
5) On considère des matrices carrées 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 où 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 sont deux matrices non singulières, développer le produit matriciel suivant : 𝑿 =
𝑨𝑩 + 𝑪𝑫
′
𝑬𝑭
−𝟏
+ 𝑮𝑯
′
Exercice 2 :
On considère :
𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … 𝑿𝒏 𝒏 vecteurs colonne de ℝ𝒌
𝒊 le vecteur unitaire de ℝ𝒌 : 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … , 𝟏
𝟏
La matrice 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊′
′
𝒏
𝑿′𝟏
𝑿 une matrice de dimension 𝒏, 𝒌 dont l’ième ligne est 𝑿′𝒊 : 𝑿 = ⋮
𝑿′𝒏
𝒌
𝑿 un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice 𝑿′ ou les moyennes des colonnes de la matrice 𝑿
1) Montrer que :
a)
𝒏
𝑿′ 𝑿
b)
𝑿𝒊 𝑿′𝒊
=
𝒊=𝟏
1
BEN AHMED MOHSEN
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Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC 𝒏
′
𝑿𝒊=
c)
𝑿=
2)
𝑿𝒊
𝒊=𝟏
𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏
𝒏
𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿 𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏
′
= 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
′
Où 𝒂 est un vecteur de ℝ𝒌
Exercice 3 :
On considère une matrice 𝑿 de dimension 𝒏, 𝒌 ; le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 , … , 𝜷𝒌 ′ et les vecteurs aléatoires 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 ′ et 𝓔 = 𝓔𝟏 , 𝓔𝟐 , … , 𝓔𝒏 ′ . On suppose que les 𝓔𝐢 sont iid de 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 et que
𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
1) Déterminer, en fonction de 𝑿 et 𝒀 le vecteur 𝜷 qui minimise 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 par rapport à 𝜷
(Indication : 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔 )
2) Démontrer que les matrices 𝑴 et 𝑷 sont symétriques idempotentes ; 𝑷 = 𝑿 𝑿′