Asymptote

Chapitre 7: Les Asymptotes I. Asymptote verticale Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a. Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] ( 2 ; + ([ , dont la courbe représentative est : La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale

Exercice III. Soit h la fonction définie par h ( x ) = x 1 + ; Γ sa courbe représentative et ∆ 4 x2 x . 4 a) Etudier la fonction h , dresser son tableau de variation et préciser la tangente à Γ au point d’abscisse 2. b) Montrer que ∆ est asymptote de Γ. c) Représenter Γ et ∆ sur un même graphique (unité 2 cm). la droite d’équation y = x2 + x − 6 Exercice IV. Soit la fonction f définie sur R – {−2 ; 5}, par : f(x) = 2 . x − 3x − 10 b c 1. Montrer que, pour tout x de R – {−2 ; 5}, f(x) peut

Contrôle Terminale ES2 Exercice 1 La courbe ci-dessous est la courbe représentative notée Cf d’une fonction f définie sur . Les droites D et  sont les asymptotes à Cf respectivement en et en . À partir du graphique et des renseignements fournis : Donner une équation des droites  et D. Quelles sont les limites de f en et en  ? Quelle est la limite en de f(x) + x - 2 ? Exercice 2 La courbe (Cu), ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction u définie sur  dans un repère

pour t −→ t− .On dit 0 que la droite ∆ est une asymptote de la courbe si et seulement si la distance de M (t) à ∆ tend vers 0 quand t −→ t− . 0 Recherche des asymptotes La recherche des asymptotes se fera en procédant de la façon suivante : (i) Déterminer les valeurs de t pour lesquelles il y a branche innie. (ii) Trois cas sont possibles : 1er cas : limt→t− f (t) = x0 et limt→t− g(t) = ∞. 0 0 La droite verticale d'équation x = x0 est une asymptote. 7 ´ 2eme cas : limt→t− f (t) = ∞ et limt→t−

fonctions tendant vers 0 est une forme indéterminée" III) ASYMPTOTES 1. Asymptote horizontale Si lim ¦(x) = k (resp. lim ¦(x) = k), on dit que la droite d'équation y = k est une asymptote horizontale à la x ® +¥ x ® -¥ courbe C¦ en +¥ (resp. en -¥). Exemple : x ® +¥ 1ö æ lim ç 2 + ÷ = 2, donc la courbe représentative de la fonction xø è 1 admet une asymptote horizontale x ¦ définie par ¦(x) = 2 + d'équation y = 2 en +¥. 2. Asymptote verticale Si une fonction ¦ admet une limite infinie à

..................21 13.Comment déterminer les coordonnées du point d'intersection de Cf et de l'axe des ordonnées ?.............................................................................................................21 2) LIMITES ET ASYMPTOTES...................................................................................................23 1.Comment retenir les limites des fonctions de référence ?...............................................23 2.Comment lire graphiquement lim f

un point d’abscisse 1. e 2. D´terminer les limites de f aux bornes de son domaine de d´finition. Que peut-on e e en d´duire pour (Cf ) ? e x . 3. D´terminer trois r´els a, b et c tels que : f (x) = ax + b + e e x−1 4. En d´duire l’existence d’une asymptote oblique pour (Cf ) en +∞. e 5. Calculer la fonction d´riv´e de f et ´tudier son signe. e e e 6. Dresser le tableau de variation de f . 7. Tracer (Cf ). Corrig´ e Exercice n 3: ˚ On donne la fonction f d´finie par f (x) = e repr´sentative dans un rep`re

10–16 ; f(1010) = 1 + 10–20. 2. f(x) est aussi proche que l’on veut de 1 dès que x est assez grand (voisin de + ∞). lim f(x) = – ∞ ; lim f(x) = + ∞ ; x → –∞ x → +∞ lim – f(x) = + ∞ ; lim+ f(x) = – ∞. x→1 Application 1 x→1 1. 3. Limites et asymptotes parallèles aux axes Activité. Une fonction homographique 1. a) À l’aide d’une calculatrice, on obtient : D’après la représentation graphique, il semble que lim P(x) = + ∞ et lim P(x) = – ∞. x → –∞ f(100) ≈ 0,990 2 à 10–4 près ; f(10 000) ≈ 0,999

classeur avec une page Calculs si aucun classeur n’était déjà ouvert. 2. Un premier exemple af Soit f x  4 x 2  5x  1 . 2x  1 On demande d'étudier les variations, les asymptotes éventuelles, les points d’intersection avec les axes puis de calculer la surface délimitée par la courbe, son asymptote oblique, et les droites d’équations x  1 et x  2. 2.1 Définition de la fonction La première chose à faire est d’ouvrir un nouveau classeur. On appuie sur la touche c, et on sélectionne

  (C) est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; i , j ). 1) a- Calculer lim f (x) ; montrer que la droite (d1) d'équation y = x – 1 est une asymptote à (C) x  et préciser la position relative de (d1) et (C). b- Calculer lim f (x) ; montrer que la droite (d2) d'équation y = x + 2 est une asymptote à (C) x  et préciser la position relative de (d2) et (C). 1 2) Démontrer que le point I (0 ; ) est un centre de symétrie de (C). 2 3) Montrer que f est strictement