Principe de Fermat

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Construction des nombres entiers naturels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Le principe de r´currence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.3. Les op´rations ´l´mentaires sur N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

au s´nat, apr`s sa victoire sur Pharnace, le message un peu pr´tentieux e e e suivant : TCLG TGBG TGAG. Bien entendu des m´thodes beaucoup plus sophistiqu´es ont ´t´ invent´es e e ee e depuis. Le plus souvent ces m´thodes utilisent le principe suivant. On code e les lettres de l’alphabet de A ` Z par les nombres de 1 ` 26. On traduit a a le message en chiffres. Par exemple si le message est A L’AIDE il devient 1 12 1 9 4 5. Ensuite il y a plusieurs possibilit´s. L’une d’elles, consiste

3 6 − 1 = 55 3 ( ) 3 7 −1 − 1. Or 7 est un nombre premier qui ne divise pas 55 , alors, d’après le petit théorème de Fermat, 55 ( ) 3 7 −1 ≡ 1 [ 7] . On en déduit que 55 Par conséquent, 5750 − 1 = 55 ( ) ( ) 3 7 −1 −1≡ 0 [7] . 3 7 −1 − 1 est divisible par 7. La proposition 3 est donc vraie. Petit théorème de Fermat : Soit n un entier. Si p est un nombre premier ne divisant pas n, alors n p −1 ≡ 1 [ p ] . 4) Cherchons le PGCD de 4n + 3 et 3n + 1

: la bagarre ! . . . . . . . . . . 10 excuses pour ne pas faire ses devoirs de TABLE DES MATIÈRES . . . . . . . . . . . . maths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 74 78 79 81 . . . . . . . . . . . . . . . Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 83 84 87 89

m´emorial en 1654) le jeune Pascal abandonne l’´etude des math´ematiques et autres sciences peu catholiques pour la tr`es sainte ´etude des ´ecritures. Etienne P´erier aurait-il oubli´e que le 29 juillet 1654, Pascal faisait un expos´e ´epistolaire `a Fermat sur la r`egle des partis, expos´e qui allait donn´e naissance `a la g´eom´etrie du hasard ? Aurait-il oubli´e les probl`emes sur la cyclo¨ıde propos´es anonymement par Pascal en 1658 dont les r´eponses donneront naissance au calcul int´egral ?

que c’est ? Un mirage est un phénomène optique bien réel. On peut le photographier puisque ce n’est pas notre cerveau qui crée l’image. La formation d’un mirage peut s’expliquer grâce au principe de Fermat (voir*) puis, grâce à un phénomène de réfraction et enfin une réflexion totale de l’objet. Le principe d’un mirage est que lorsque la température du sol est différente de l’air ambiant (atmosphère à l’extérieur), il existe au voisinage du sol une petite couche d’air dans laquelle l’indice de

que nous ´etudions au chapitre 2. Leur d´emonstration est donc report´ee aux paragraphes 2.3 et 2.4. Donnons `a pr´esent deux exercices qui montrent comment l’on peut manipuler les faits pr´ec´edents : n Exercice : On d´efinit le n-i`eme nombre de Fermat par la formule Fn = 22 + 1. Montrer que les Fn sont deux `a deux premiers entre eux. Solution : On remarque que : n+1 Fn+1 − 2 = 22 −1 = = n n 22 − 1 22 + 1 n−1 22 22 n−1 −1 +1 n 22 + 1 = Fn Fn−1 · · · F0 Soit d un diviseur commun de

géométrique 2.5.1. LOI DE DESCARTES Réflexion Réfraction ) ) ====> ) Rayons : incident loi de Descartes réfléchi i r milieu : n1 milieu : n2 1/ i = r 2/ n 1.sin i = n 2 .sin t t transmis Démonstration : Principe de Fermat (1601-1665) Ce principe du temps de parcours minimum de la lumière entre deux points est postérieur à la loi de Descartes. La lumière se propage du point A au point B. d Elle parcourt l1 à la vitesse v1 dans le milieu 1 A et l2 à la vitesse v2 dans

structure dans le volume de l'6chantillon. Fig.l: Diffusion par la rugosite d'un dioptre. (1), (R) et (T) sont relatifs aux faisceaux speculates. 1- Generalites - definitions En milieu homogene, la lumiere se propage en ligne droite (principe de Fermat). Si le milieu est a gradient d'indice, il y a deviation continue du faisceau lumineux et 1'energie se trouve concentred selon une courbe gauche dans 1'espace. Par contre, en milieu inhomogene ou ateatoire, il y a perte d'energie dans toutes

grands changements de pts de vue culturel ; la culture français rayonne en Europe littérature, arts et sciences. Le français : langue des écrivains (Molière corneille) la peinture la sculpture , l’architecture et la musique . scientifique français Fermat/pascal/descartes… L'évolution de la monarchie absolue, où le monarque n'a théoriquement aucun compte à rendre à personne, vers le système de monarchie constitutionnelle, où ses pouvoirs sont encadrés par une constitution Le XVIIIeme est alors appelé